Propriétés géométriques d'une courbe représentative

Partie A
Soit  \(a\)  et  \(b\) deux réels et \(g\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(g(x) = \dfrac{3x^2 + ax + b}{x^2 + 1}\) . 
Déterminer les valeurs de \(a\)  et  \(b\)  pour que la tangente à la courbe représentative de  \(g\)  au point  `I`  de coordonnées  `\left(0 \ ; 3\right)`  soit parallèle à la droite d'équation  \(y = 4x - 3\) .

Partie B
Soit  \(f\)  la fonction définie sur  \(\mathbb{R}\)  par  \(f(x) = \dfrac{3x^2 + 4x + 3}{x^2 + 1}\)  et  \(\mathcal{C}_f\)  sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
1. Étudier les variations de  \(f\) . Dresser le tableau de variations de  \(f\) .
2. Déterminer l'équation de la droite  \(\mathcal{T}\)  tangente à la courbe  \(\mathcal{C}_f\)  au point  \(I\)  d'abscisse \(0\) . Étudier la position relative de  \(\mathcal{C}_f\)  par rapport à  \(\mathcal{T}\) .
3. a. Démontrer que, pour tout  \(x\)  réel,  \(f(x) + f(-x) = 6\) .
    b. Pour tout  \(c\)  réel, on note  \(\text M\)  le point de  \(\mathcal{C}_f\)  d'abscisse  \(c\)  et  \(\text M'\)  le point   de  \(\mathcal{C}_f\)  d'abscisse  \(-c\) . Démontrer que  \(I\)  est le milieu du segment  \(\left[\text M\text M'\right]\) .
    c. Quelle propriété géométrique de  \(\mathcal{C}_f\) peut-on en déduire ?